lie türevi ne demek?

Lie türevi, diferansiyel geometride ve tensör analizinde, bir vektör alanı boyunca başka bir tensör alanının nasıl değiştiğini ölçen bir araçtır. Başka bir deyişle, bir vektör alanının "akışı" boyunca bir tensörün nasıl taşındığını veya sürüklendiğini tanımlar.

Temel Kavramlar

• Vektör Alanı (https://www.nedemek.page/kavramlar/vektör%20alanı): Bir manifoldun her noktasına bir vektör atayan bir fonksiyon. Fiziksel olarak bir akış veya hareket yönü temsil edebilir.
• Tensör Alanı (https://www.nedemek.page/kavramlar/tensör%20alanı): Bir manifoldun her noktasına bir tensör atayan bir fonksiyon. Skaler alanlar (0-tensör), vektör alanları (1-tensör), metrik tensörler (2-tensör) gibi çeşitli matematiksel nesneleri temsil edebilir.
• Akış (Flow) (https://www.nedemek.page/kavramlar/akış): Bir vektör alanının entegral eğrileri boyunca hareket. Bir parçacığın vektör alanının yönlendirdiği yolu izlemesi gibi düşünülebilir.
• Lie Parantezi (https://www.nedemek.page/kavramlar/lie%20parantezi): İki vektör alanının komütatörünü (değişme özelliğini) ölçer. Genellikle [X,Y] veya £_XY şeklinde gösterilir.
• Manifold (https://www.nedemek.page/kavramlar/manifold): Yerel olarak Öklid uzayına benzeyen bir topolojik uzay.

Lie Türevinin Tanımı

Bir T tensör alanının V vektör alanı boyunca Lie türevi genellikle £_VT olarak gösterilir. Kesin tanımı, tensörün türüne bağlıdır. Örneğin:

• Skaler Fonksiyon (f) için: £_Vf = V(f) = df(V) (sadece yönlü türevdir)
• Vektör Alanı (W) için: £_VW = [V, W] = ∇_VW - ∇_WV (V ve W'nin Lie parantezi)
• (0,2) tensörü (g) için: £_Vg_ab = V^c∂_cg_ab + g_cb∂_aV^c + g_ac∂_bV^c

Özellikleri ve Kullanım Alanları

• Lie türevi, genel görelilik, akışkanlar dinamiği ve diferansiyel denklemler gibi çeşitli fizik ve matematik alanlarında kullanılır.
• Bir tensör alanının bir vektör alanının simetrilerini koruyup korumadığını belirlemek için kullanılabilir. Eğer £_VT = 0 ise, V vektör alanı T tensörünün simetrisidir denir.
• Koordinatlardan bağımsız bir türev alma yöntemidir. Yani, sonucu hesaplamak için herhangi bir koordinat sistemine ihtiyaç duymaz.
• Lie türevi, vektör alanlarının komütasyon ilişkilerini analiz etmek için güçlü bir araçtır.

Özet

Lie türevi, bir vektör alanının akışı boyunca bir tensör alanındaki değişimi ölçen temel bir kavramdır. Diferansiyel geometride, tensör analizinde ve fizikte yaygın olarak kullanılır.